8. Найти BC. На рисунке AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, а угол между BD и CD равен 45°; ABCD — трапеция с BC ∥ AD.

Указанные данные противоречат друг другу. Поскольку BC ∥ AD и ∠BCD = 90°, сторона CD перпендикулярна и BC, и AD. Угол между BD и CD равен 45°, значит треугольник BCD прямоугольный равнобедренный, поэтому ∠CBD = 45°.

Тогда внутренний угол ABC состоит из углов ABD и DBC. При ∠ABC = 135° получаем ∠ABD = 90°. В треугольнике ABD угол при D равен 45° (так как CD ⟂ AD, а угол между BD и CD — 45°). Получаются углы треугольника ABD: 90°, 45° и 45°, что совместимо, но при AD = 30 это даёт высоту CD = 30. Из равенства катетов треугольника BCD следует BC = CD = 30.

Ответ: BC = 30.