8. Найти допустимые значения переменной рационального выражения \(\frac{a^3-9a}{a^2+2a-3}\) и определить, при каких значениях переменной данная рациональная дробь равна нулю.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(a^3-9a=a(a-3)(a+3)\), \(a^2+2a-3=(a+3)(a-1)\).

Знаменатель исходной дроби обращается в ноль при \(a=-3\) и \(a=1\); эти значения исключаются. Сокращение общего множителя \((a+3)\) не меняет ограничений исходного выражения.

При допустимых значениях дробь равна \(\frac{a(a-3)}{a-1}\). Она равна нулю, когда числитель равен нулю: \(a=0\) или \(a=3\). Оба значения допустимы.

Ответ: допустимые значения — все действительные \(a\), кроме \(-3\) и \(1\); дробь равна нулю при \(a=0\) и \(a=3\).