8. Решите уравнение: \( \frac{x^2 - 9x}{x+3} = \frac{36}{x+3} \)

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель \( x+3 \) не может быть равен нулю, значит, \( x
e -3 \).

Так как знаменатели обеих частей уравнения равны, мы можем приравнять числители:

\( x^2 - 9x = 36 \)

Перенесём всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 9x - 36 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( a = 1, b = -9, c = -36 \)

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Проверим корни по ОДЗ. \( x = 12 \) удовлетворяет ОДЗ. \( x = -3 \) не удовлетворяет ОДЗ, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: \( x = 12 \)