8. Решите уравнение \(\(\sqrt[4]{x+3}\) + 20 = \(\sqrt{x+3}\).

Решение:

Сделаем замену переменных. Пусть \( y = \sqrt{x+3} \). Тогда \( y^2 = x+3 \).

\( \sqrt{x+3} \) — это \( y \).

\( \sqrt[4]{x+3} \) — это \( \sqrt{y} \).

Уравнение примет вид:

\( \sqrt{y} + 20 = y \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( y - \sqrt{y} - 20 = 0 \)

Сделаем ещё одну замену: пусть \( z = \sqrt{y} \). Тогда \( z^2 = y \).

Уравнение станет квадратным:

\( z^2 - z - 20 = 0 \)

Найдём корни этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \).

\( z_{1,2} = \frac{-(-1) ± \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 ± 9}{2} \)

\( z_1 = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( z_2 = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Теперь вернёмся к замене \( z = \sqrt{y} \).

\( \sqrt{y} = 5 \) или \( \sqrt{y} = -4 \).

Поскольку корень квадратный не может быть отрицательным, \( \sqrt{y} = -4 \) не имеет решений.

Рассмотрим \( \sqrt{y} = 5 \). Возведём обе стороны в квадрат:

\( y = 5^2 = 25 \)

Теперь вернёмся к первой замене: \( y = \sqrt{x+3} \).

\( 25 = \sqrt{x+3} \)

Возведём обе стороны в квадрат:

\( 25^2 = x+3 \)

\( 625 = x+3 \)

\( x = 625 - 3 \)

\( x = 622 \)

Проверим решение: \( \sqrt[4]{622+3} + 20 = \sqrt{622+3} \)

\( \sqrt[4]{625} + 20 = \sqrt{625} \)

\( 5 + 20 = 25 \)

\( 25 = 25 \) (Верно)

Ответ: 622.