8. Среднее арифметическое нескольких чисел равно 31. Наибольшее число уменьшили на 27, а наименьшее - увеличили на 27. а) Чему стало равно среднее арифметическое? б) Как изменился размах?

Решение:

Пусть исходный набор чисел: \( x_1, x_2, ..., x_n \), где \( x_{min} \) — наименьшее число, а \( x_{max} \) — наибольшее.

Исходное среднее арифметическое: \( \bar{x}_{исх} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = 31 \).

Сумма чисел: \( \sum_{i=1}^{n} x_i = 31n \).

а) Чему стало равно среднее арифметическое?

Наибольшее число уменьшили на 27: \( x_{max} - 27 \).

Наименьшее число увеличили на 27: \( x_{min} + 27 \).

Новая сумма чисел: \( \sum_{i=1}^{n} x_i - x_{max} - x_{min} + (x_{max} - 27) + (x_{min} + 27) \)

= \( \sum_{i=1}^{n} x_i - x_{max} - x_{min} + x_{max} + 27 + x_{min} - 27 \)

= \( \sum_{i=1}^{n} x_i \).

Сумма чисел не изменилась. Следовательно, среднее арифметическое осталось прежним.

б) Как изменился размах?

Исходный размах: \( R_{исх} = x_{max} - x_{min} \).

Новый размах: \( R_{нов} = (x_{max} - 27) - (x_{min} + 27) \)

= \( x_{max} - 27 - x_{min} - 27 \)

= \( x_{max} - x_{min} - 54 \)

= \( R_{исх} - 54 \).

Размах уменьшился на 54.

Ответ: а) Среднее арифметическое осталось прежним, равно 31. б) Размах уменьшился на 54.