8. Сумма некоторого положительного числа и числа, ему обратного, в 1,7 раза меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

Пусть положительное число равно \(x\), тогда обратное ему число равно \(\frac1x\), где \(x>0\). Обозначим их сумму через \(s=x+\frac1x\). Сумма квадратов равна \(x^2+\frac1{x^2}=s^2-2\).

По условию сумма в 1,7 раза меньше суммы квадратов, значит \(s=\frac{x^2+1/x^2}{1.7}=\frac{10}{17}(s^2-2)\). Поэтому \(10s^2-17s-20=0\), откуда \(s=\frac{17\pm33}{20}\). Так как \(x>0\), имеем \(s=x+1/x\ge2\), поэтому подходит только \(s=\frac52\).

Решим \(x+\frac1x=\frac52\): \(2x^2-5x+2=0\), откуда \(x=2\) или \(x=\frac12\). В обоих случаях пара чисел — 2 и \(\frac12\).

Ответ: 2 и \(\frac12\).