8. ∠TSR : ∠RSP = 3 : 5. Найти ∠P, ∠TSP. ∠T = 115°; PO = OS, RO ⟂ PS, точки P, O, S лежат на одной прямой, а P, R, T лежат на одной прямой.

Так как \(PO = OS\) и \(RO \perp PS\), прямая RO — серединный перпендикуляр к PS. Следовательно, \(RP = RS\), и в треугольнике PRS углы при P и S равны: ∠RPS = ∠RSP.

Пусть ∠RSP = 5x, тогда ∠TSR = 3x. Поскольку P, R, T лежат на одной прямой, ∠P = ∠RPS = 5x, а угол при S большого треугольника ∠TSP = 8x.

По сумме углов треугольника PTS: \(5x + 115° + 8x = 180°\), откуда \(x = 5°\).

Ответ: ∠P = 25°, ∠TSP = 40°.