5. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Задание 5. Падение камня

Это задача на расчет пройденного пути, где расстояние, пройденное за каждую секунду, образует арифметическую прогрессию.

Дано:

• Расстояние, пройденное в первую секунду: \( a_1 = 13 \) метров.
• Увеличение расстояния каждую следующую секунду: \( d = 10 \) метров.
• Количество секунд: \( n = 5 \).

Найти: общее расстояние, которое пролетит камень за первые 5 секунд (сумму первых 5 членов прогрессии) \( S_5 \).

Решение:

1. Сначала найдем расстояние, которое пролетит камень в пятую секунду \( a_5 \), используя формулу n-го члена: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] \[ a_5 = 13 + (5-1) \times 10 = 13 + 4 \times 10 = 13 + 40 = 53 \] метров.
2. Теперь найдем сумму первых 5 членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \]
3. Подставим значения: \[ S_5 = \frac{(13 + 53) \times 5}{2} \]
4. Вычислим: \[ S_5 = \frac{66 \times 5}{2} = 33 \times 5 = 165 \] метров.

Ответ: За первые пять секунд камень пролетит 165 метров.