8. Упростите выражение $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a-b}{a+b}$ : $\frac{2ab}{a+b}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Упростите выражение $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a-b}{a+b}$ : $\frac{2ab}{a+b}$$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю $ a^2-b^2 $. Для этого вторую дробь умножим на $ \frac{a-b}{a-b} $. $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a+b)} $
$ \frac{a^2+b^2 - (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} $
Раскроем квадрат разности: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
$ \frac{a^2+b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} $
Теперь разделим полученную дробь на $ \frac{2ab}{a+b} $: $ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} : \frac{2ab}{a+b} $
Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: $ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{2ab} $
Сократим одинаковые множители $ 2ab $ и $ a+b $.

Ответ: $\frac{1}{a-b}$

8. Упростите выражение \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a-b}{a+b}\) : \(\frac{2ab}{a+b}\)