8. В четырёхугольнике ABCD \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Через точку O пересечения его диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD соответственно в точках N и M. Тогда среди указанных пар векторов не являются коллинеарными векторы: а) \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{NC}\); б) \(\overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{BN}\); в) \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{NB}\); г) \(\overrightarrow{ON}\) и \(\overrightarrow{NM}\).

Из условия \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), поэтому ABCD — параллелограмм. Его диагонали пересекаются и делятся пополам, следовательно, O — центр параллелограмма.

Пусть \(O=(0,0)\), а противоположные вершины имеют координаты \(A=\mathbf u\), \(C=-\mathbf u\), \(B=\mathbf v\), \(D=-\mathbf v\). Так как M, O, N лежат на одной прямой, можно записать \(M=t\mathbf w\), \(N=s\mathbf w\).

1. \(\overrightarrow{AD}=-\mathbf v-\mathbf u\), а \(\overrightarrow{NC}=-\mathbf u-s\mathbf w\). Для произвольного положения секущей эти векторы не обязаны быть параллельными.
2. \(\overrightarrow{OM}=t\mathbf w\), \(\overrightarrow{BN}=s\mathbf w-\mathbf v\). Условие, что N лежит на BC, даёт \(N=(1-r)\mathbf v-r\mathbf u\), а M на AD — \(M=(1-q)\mathbf u-q\mathbf v\). Из коллинеарности M, O, N следует \(q=r\), поэтому \(\overrightarrow{BN}=s\mathbf w-\mathbf v\) здесь не обязателен к коллинеарности с \(\overrightarrow{OM}\). Проверим через координаты: прямая через O и точки M,N пересекает противоположные стороны; направления OM и BN в общем случае различны.
3. Более прямо, из параметризации M=(1-q)u−qv и N=(1−q)v−qu следует \(\overrightarrow{AM}=-q(u+v)\) и \(\overrightarrow{NB}=q(u+v)\), значит, параллельны.
4. \(\overrightarrow{ON}=N\), а \(\overrightarrow{NM}=M-N\). Оба лежат на одной прямой OMN, следовательно, коллинеарны.

Таким образом, единственная пара, которая в общем случае не является коллинеарной, — б).

Ответ: б) \(\overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{BN}\).