8. В прямоугольном треугольнике АСВ проведена высота CD к гипотенузе АВ. Катет СА равен 14 см, угол CAD равен 30°. Найдите длину CD.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину гипотенузы AB в прямоугольном треугольнике АСВ.
   В прямоугольном треугольнике АСВ, угол C = 90°. Угол CAD = 30°, но это относится к углу при вершине A, то есть угол CAB = 30°.
   Используя синус угла A:
   $$ rac{CB}{AB} = ext{sin}(30°) $$
   Используя косинус угла A:
   $$ rac{CA}{AB} = ext{cos}(30°) $$
   Мы знаем CA = 14 см.
   $$ AB = rac{CA}{ ext{cos}(30°)} = rac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{28}{\sqrt{3}} ext{ см} $$
2. Шаг 2: Найдем длину катета CB.
   $$ CB = CA · ext{tg}(30°) = 14 · rac{1}{\sqrt{3}} = rac{14}{\sqrt{3}} ext{ см} $$
3. Шаг 3: Найдем площадь треугольника АСВ.
   $$ S_{ riangle ABC} = rac{1}{2} · CA · CB = rac{1}{2} · 14 · rac{14}{\sqrt{3}} = rac{98}{\sqrt{3}} ext{ см}^2 $$
4. Шаг 4: Площадь треугольника также можно выразить через высоту CD и гипотенузу AB:
   $$ S_{ riangle ABC} = rac{1}{2} · CD · AB $$
5. Шаг 5: Приравняем два выражения для площади и найдем CD:
   $$ rac{1}{2} · CD · rac{28}{\sqrt{3}} = rac{98}{\sqrt{3}} $$
   $$ CD · rac{14}{\sqrt{3}} = rac{98}{\sqrt{3}} $$
   $$ CD = rac{98}{\sqrt{3}} · rac{\sqrt{3}}{14} = rac{98}{14} = 7 ext{ см} $$
6. Альтернативный метод:
   В прямоугольном треугольнике ACD, угол ADC = 90°, угол CAD = 30°, CA = 14 см.
   Используя синус угла CAD:
   $$ rac{CD}{CA} = ext{sin}(30°) $$
   $$ CD = CA · ext{sin}(30°) = 14 · rac{1}{2} = 7 ext{ см} $$

Ответ: 7 см