8. «В пятых классах школы училось 70 человек. Им было предложено записаться в 3 кружка: по математике, литературе и истории. Староста подсчитал число учащихся, желающих участвовать во внеклассной работе, и получил такие результаты. В кружок по математике записалось 51 человек, по литературе — 40, по истории — 22. 6 человек решили заниматься во всех кружках, математикой и литературой решили заниматься 32 человека, одновременно заниматься математикой и историей решили 11 человек, а литературой и историей 8 человек. Получив результаты, староста сказал: „Можно подумать, что у нас в 5-х классах обучается не 70 человек, а 170. Все хотят заниматься в кружках“. Однако один из любителей математики сказал: „Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни историю. Я даже могу сказать, сколько их“. Как он узнал?»

Посчитаем число учеников, записавшихся хотя бы в один кружок. В попарных пересечениях учтены также 6 человек, посещающих все три кружка, поэтому применяем правило включения-исключения:

\(51+40+22-32-11-8+6=68\).

Из 70 учеников ни в один кружок не записались \(70-68=2\) человека. Так любитель математики и узнал их число: он вычел количество записавшихся хотя бы в один кружок из общего числа учеников.

Ответ: 2 ученика.