8) В равнобедренной трапеции ABCD основания BC = 5 и AD = 13. Диагонали перпендикулярны. CH = x, CH ⟂ AD. Найдите x.

Расположим равнобедренную трапецию симметрично относительно перпендикуляра к основаниям. Разность оснований равна 13 − 5 = 8, поэтому смещение верхнего основания с каждой стороны равно 4. Горизонтальная проекция каждой диагонали тогда равна 13 − 4 = 9.

У диагоналей горизонтальные проекции равны 9, а вертикальные — x и −x. Их перпендикулярность означает, что скалярное произведение равно нулю: 9 · 9 − x² = 0. Следовательно, x² = 81, а так как длина положительна, x = 9.

Ответ: x = 9.