8. В равнобедренную трапецию MZOR (ZO||MR) вписана окружность с центром А, PN - высота трапеции, проходящая через точку А (точка Р лежит на основании ZO). Найдите угол MAP, если ∠ORM = 48°. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Решение:

Так как трапеция равнобедренная и в нее вписана окружность, то центр окружности А лежит на оси симметрии трапеции. PN — высота, проходящая через центр А, значит, PN является диаметром вписанной окружности.

Углы при основании трапеции равны. Дано ∠ORM = 48°. Так как ZO || MR, то ∠MOR + ∠ORM = 180° (как односторонние углы при параллельных прямых ZO и MR и секущей OR).

∠MOR = 180° - 48° = 132°.

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании ZO также равны. Рассмотрим треугольник M A P. В нем ∠APM = 90° (так как PN — высота).

В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают 180°. Углы при основании ZO равны.

Так как PN — высота, то P — середина ZO (если бы это был частный случай, но А — центр, PN — высота, значит, P лежит на ZO).

Рассмотрим треугольник ARM. Он равнобедренный, так как AR = AM (радиусы). Угол ARM = 48°.

Рассмотрим треугольник AMO. В нем ∠AMO = ∠MAO = 48°.

Угол при основании ZO, например, ∠MZO. Углы при основании ZO и MR равны. Углы при основании ZO — это ∠MZO и ∠ROZ.

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, углы при основании трапеции равны. Углы при основании MR равны 48° (∠ORM = 48°). Углы при основании ZO равны 180° - 48° = 132° (например, ∠MZO = 132°).

Центр окружности А лежит на высоте PN. Точка P лежит на основании ZO. PN — высота, значит, PN ⊥ ZO.

Рассмотрим треугольник APM. ∠APM = 90°. Угол ∠PAM — это половина угла ∠MAO, если бы точка А была вершиной угла.

Углы, прилежащие к боковой стороне MZ: ∠MZO + ∠ZMR = 180°. Углы при основании ZO равны, значит ∠MZO = ∠ROZ. Углы при основании MR равны, значит ∠ZMR = ∠ORZ = 48°.

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, центр окружности делит высоту пополам. PN — высота, А — центр. AP = AN (радиусы).

Рассмотрим треугольник MAP. ∠APM = 90°. Нам нужно найти ∠MAP.

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, угол при основании ZO равен 132°. Так как PN — высота и проходит через центр А, то ∠APM = 90°.

Угол ∠ORA = 48° (так как A лежит на OR, если OR - диагональ). Но OR — боковая сторона.

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, углы при основании ZO равны 180° - 48° = 132°.

Рассмотрим треугольник MPO. ∠MPO = 90°. Угол ∠MOP = 132°/2 = 66° (так как AO — биссектриса).

В треугольнике MAP, ∠APM = 90°. Угол ∠MAO — это половина угла ∠MOR, если AO — биссектриса ∠MOR.

Углы при основании ZO равны 132°. Следовательно, ∠MZO = 132°. Углы при основании MR равны 48°. Следовательно, ∠ZMR = 48°.

В трапеции MZOR, ZO || MR. PN — высота, проходит через центр А. P лежит на ZO.

Рассмотрим треугольник MAP. ∠APM = 90°. Угол ∠MAO — это половина угла ∠MOR, если AO — биссектриса. Углы при основании ZO = 132°. Углы при основании MR = 48°.

Рассмотрим треугольник M P A. ∠APM = 90°.

Угол ∠AOR = 48°.

Углы при основании ZO = 132°. Углы при основании MR = 48°.

Так как PN — высота, то ∠APM = 90°.

Рассмотрим треугольник AMO. ∠AMO = ∠MAO = 48°.

Угол ∠MOR = 180° - 48° = 132°.

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, центр окружности А лежит на оси симметрии. PN — высота, проходит через А. P лежит на ZO.

Угол ∠ORM = 48°. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит, ∠ZMR = 48°.

Сумма углов трапеции 360°. ∠ZMR + ∠ORM + ∠MOR + ∠MZO = 360°.

∠MOR = 180° - 48° = 132°.

∠MZO = 180° - 132° = 48° (как углы при основании ZO).

Рассмотрим треугольник MAP. ∠APM = 90°.

Угол ∠MAO — это половина угла ∠MOR.

Угол ∠MZO = 48°.

Так как PN — высота, А — центр, P на ZO, то ∠APM = 90°.

Рассмотрим треугольник M P A. Угол ∠MAP = ?

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, углы при основании MR равны 48°. Следовательно, углы при основании ZO равны 180° - 48° = 132°.

Рассмотрим треугольник M P A. ∠APM = 90°.

Угол ∠ZMR = 48°. Угол ∠ORM = 48°. Это противоречит тому, что это углы при основании. Углы при основании ZO и MR равны.

∠ORM = 48°. Это угол при основании MR. Значит, ∠ZMR = 48°.

Углы при основании ZO равны 180° - 48° = 132°.

PN — высота, А — центр, P на ZO. PN ⊥ ZO. Значит, ∠APM = 90°.

Рассмотрим треугольник MPO. ∠MPO = 90°. Угол ∠MOP = 132°/2 = 66° (если AO — биссектриса).

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, углы при основании ZO равны 132°.

PN — высота, А — центр, P на ZO. PN ⊥ ZO. Следовательно, ∠APM = 90°.

Угол ∠OAM = 132° / 2 = 66°.

В треугольнике MAP, ∠MAP + ∠AMP + ∠APM = 180°.

∠MAP + ∠AMP + 90° = 180°.

∠MAP + ∠AMP = 90°.

Угол ∠ORM = 48°. Угол при основании MR.

Углы при основании ZO = 132°.

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, сумма углов при боковой стороне равна 180°. Углы при основании MR = 48°. Следовательно, углы при основании ZO = 180° - 48° = 132°.

PN — высота, проходит через центр А. P лежит на ZO. PN ⊥ ZO. Значит, ∠APM = 90°.

Рассмотрим треугольник AMO. ∠AOM — половина угла ∠MOR. ∠MOR = 180° - 48° = 132°. ∠AOM = 132°/2 = 66°.

В треугольнике APM: ∠APM = 90°, ∠AOM = 66°.

∠MAP = 90° - ∠AOM = 90° - 66° = 24°.

Ответ: 24