8. Вычислите: \(\frac{27^2 \cdot 9^4}{81^3}\).

Решение:

Для вычисления представим все числа в виде степеней тройки:

\( 27 = 3^3 \)

\( 9 = 3^2 \)

\( 81 = 3^4 \)

Теперь подставим эти значения в выражение:

\(\frac{(3^3)^2 \cdot (3^2)^4}{(3^4)^3}\)

Применим правило возведения степени в степень \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\(\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 4}}{3^{4 \cdot 3}} = \frac{3^6 \cdot 3^8}{3^{12}} \)

Сложим показатели степеней в числителе:

\(\frac{3^{6+8}}{3^{12}} = \frac{3^{14}}{3^{12}} \)

Вычтем показатели степеней при делении:

\( 3^{14-12} = 3^2 \)

Вычислим значение \( 3^2 \):

\( 3^2 = 9 \)

Ответ: 9.