9. Сравните значения выражений 3⁵⁶ и 2¹² · 3¹².

Решение:

Чтобы сравнить \( 3^{56} \) и \( 2^{12} \cdot 3^{12} \), приведём оба выражения к одному показателю степени или к одному основанию. Воспользуемся свойством степеней \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \) для второго выражения:

\( 2^{12} \cdot 3^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 6^{12} \)

Теперь нам нужно сравнить \( 3^{56} \) и \( 6^{12} \). Это всё ещё сложно сделать напрямую.

Попробуем привести к одному показателю степени, например, к 12. Можно представить \( 3^{56} \) как \( 3^{12 \cdot \frac{56}{12}} \) = \( 3^{12 \cdot \frac{14}{3}} \). Это не упрощает задачу.

Давайте рассмотрим другую возможность. Можно попробовать привести к одному основанию, но это тоже сложно.

Рассмотрим снова \( 3^{56} \) и \( 6^{12} \). Заметим, что \( 6 > 3 \). Если бы показатель степени у \( 6 \) был больше, то \( 6^{12} \) было бы очевидно больше.

Давайте сравним \( 3^{56} \) и \( 6^{12} \) иначе. Можно представить \( 3^{56} \) как \( (3^{56/12})^{12} = (3^{14/3})^{12} \). \( 3^{14/3} = 3^{4 \frac{2}{3}} = 3^4 \cdot 3^{2/3} = 81 \cdot \sqrt[3]{9} \). \( \sqrt[3]{9} \) немного больше 2 (так как \( 2^3=8 \)). Значит, \( 3^{14/3} \) примерно \( 81 \cdot 2.08 \approx 168 \). Тогда \( 3^{56} \) примерно \( 168^{12} \).

Сравним \( 168^{12} \) и \( 6^{12} \). Очевидно, что \( 168^{12} > 6^{12} \). Следовательно, \( 3^{56} > 6^{12} \).

Ответ: 3⁵⁶ > 2¹² · 3¹².