806. За некоторое время пружинный маятник совершил 20 колебаний. Когда массу груза увеличили на 400 г, число колебаний уменьшилось до 9. Чему была равна начальная масса груза?

Период пружинного маятника: \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \), где m - масса груза, k - жесткость пружины. Частота обратно пропорциональна периоду, и количество колебаний за одно и то же время обратно пропорционально периоду.
Пусть \(m_1\) - начальная масса, \(n_1 = 20\) - начальное количество колебаний, \(m_2 = m_1 + 0.4\) кг - конечная масса, \(n_2 = 9\) - конечное число колебаний. Отношение частот: \(\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{20}{9}\). Отношение периодов обратно \(\frac{T_2}{T_1} = \frac{9}{20}\). \( \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{m_1+0.4}{m_1}} \) \( (\frac{9}{20})^2 = \frac{m_1 + 0.4}{m_1} \) \( \frac{81}{400} = \frac{m_1 + 0.4}{m_1} \) \(81 m_1 = 400m_1 + 160\) \(319 m_1 = -160\) \(m_1 \approx \frac{160}{319} \approx 0.502 кг\). Ответ: Начальная масса груза была примерно 0.502 кг (502 г).