Контрольные задания

Вопрос: $Фото задания: 843. Векторы \(a\) и \(b\) образуют угол \(\varphi=\frac{2\pi}{3}\). Зная, что \(|a|=1\), \(|b|=2\), вычислить: 1)…$ Фото задания

843. Векторы \(a\) и \(b\) образуют угол \(\varphi=\frac{2\pi}{3}\). Зная, что \(|a|=1\), \(|b|=2\), вычислить: 1) \(|[ab]|^2\); 2) \(|(2a+b)(a+2b)|^2\); 3) \(|[(a+3b)(3a-b)]|^2\).

Сначала найдём \(ab=|a||b|\cos\varphi=1\cdot2\cdot(-\frac12)=-1\) и \(|[ab]|=|a||b|\sin\varphi=\sqrt3\).

\(|[ab]|^2=(\sqrt3)^2=3\).
\((2a+b)(a+2b)=2|a|^2+5(ab)+2|b|^2=2+5(-1)+8=5\). Следовательно, \(|(2a+b)(a+2b)|^2=|5|^2=25\).
По билинейности \([(a+3b)(3a-b)]=-10[ab]\). Поэтому \(|[(a+3b)(3a-b)]|^2=100|[ab]|^2=100\cdot3=300\).

Ответ: 1) 3; 2) 25; 3) 300.