845. Доказать тождество \([ab]^2+(ab)^2=a^2b^2\).

Пусть \(\varphi\) — угол между векторами. По формулам скалярного и векторного произведений:

\([ab]^2=|a|^2|b|^2\sin^2\varphi\), \((ab)^2=|a|^2|b|^2\cos^2\varphi\).

Складывая эти равенства и используя \(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\), получаем:

\([ab]^2+(ab)^2=|a|^2|b|^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)=|a|^2|b|^2=a^2b^2.\)