868. Доказать, что |abc| ≤ |a||b||c|. В каком случае здесь может иметь место знак равенства?

По формуле смешанного произведения:

\(|abc|=|a||b||c|\,|\cos\varphi|,\)

где \(\varphi\) — угол между a и векторным произведением b и c. Поскольку \(|\cos\varphi|\leq1\), получаем \(|abc|\leq|a||b||c|\).

Равенство достигается, когда векторы a, b и c попарно перпендикулярны. Если какой-либо вектор нулевой, обе части равны нулю, и равенство также выполняется.