869. Доказать тождество (a + b)(b + c)(c + a) = 2abc.

Используем линейность смешанного произведения по каждому аргументу и равенство нулю смешанного произведения, если два его аргумента совпадают:

\((a+b)(b+c)(c+a)=abc+aba+acc+aca+bbc+bba+bcc+bca.\)

Все слагаемые, в которых повторяется вектор, равны нулю. Кроме того, \(bca=abc\), поскольку циклическая перестановка аргументов не меняет смешанное произведение. Поэтому

\((a+b)(b+c)(c+a)=abc+bca=2abc.\)