871. Доказать, что векторы a, b, c, удовлетворяющие условию [ab] + [bc] + [ca] = 0, компланарны.

Преобразуем левую часть, учитывая антикоммутативность векторного произведения:

\([ab]+[bc]+[ca]=[a-b,\,b-c].\)

По условию \([a-b,\,b-c]=0\), значит, векторы \(a-b\) и \(b-c\) коллинеарны (в том числе если один из них нулевой). Следовательно, концы векторов a, b, c лежат на одной прямой. Эта прямая вместе с началом векторов содержится в некоторой плоскости, поэтому векторы a, b, c компланарны.