872. Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов a, b, c является зависимость αa + βb + γc = 0, где по крайней мере одно из чисел α, β, γ не равно нулю.

Необходимость. Если векторы компланарны, то они принадлежат одному двумерному пространству (или пространству меньшей размерности). Поэтому три вектора линейно зависимы: существуют числа \(\alpha,\beta,\gamma\), не все равные нулю, такие что \(\alpha a+\beta b+\gamma c=0\).

Достаточность. Пусть такая зависимость существует. Если, например, \(\gamma\ne0\), то \(c=-\frac{\alpha}{\gamma}a-\frac{\beta}{\gamma}b\), то есть c принадлежит плоскости, натянутой на a и b. Если ненулевой коэффициент другой, аналогично выразим соответствующий вектор через два остальных. Вырожденные случаи, когда оставшиеся векторы коллинеарны или нулевые, также дают компланарность.

Значит, указанная зависимость необходима и достаточна для компланарности.