87. Найдите периметр равнобедренной трапеции ABCD. По рисунку AB = CD = 7, AD ∥ BC, AC — биссектриса угла A, AC ⟂ CD.

Треугольник ACD прямоугольный, причём CD = 7. Обозначим угол CAD через θ. Так как AC — биссектриса, угол A трапеции равен 2θ. В равнобедренной трапеции углы A и D supplementary, а угол ADC равен углу D трапеции. Поэтому угол ADC = 180° − 2θ. В прямоугольном треугольнике ACD угол ADC также равен 90° − θ. Получаем 180° − 2θ = 90° − θ, значит θ = 90° — уравнение содержит ошибку в соотношении углов, если напрямую учитывать их как внутренние углы.

Уточним по параллельности оснований: углы A и D трапеции supplementary. В треугольнике ACD угол при A равен половине угла A трапеции, а угол при D равен углу D трапеции. Их сумма равна 90°, так как угол C прямой. Следовательно, половина угла A плюс угол D = 90°. Вместе с углом A + углом D = 180° получаем угол A = 60°, угол D = 120°. Тогда в треугольнике ACD углы A = 30°, D = 60°, C = 90°.

В прямоугольном треугольнике с углом 30° сторона CD = 7 лежит напротив этого угла, поэтому AD = 14. Проекция боковой стороны CD на основание равна 7 cos 60° = 3,5; разность оснований равна 2 · 3,5 = 7. Значит, BC = AD − 7 = 7.

Тогда P = 7 + 7 + 7 + 14 = 35.

Ответ: 35.