89*. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.

Обозначим половины углов \(ABC\) и \(CBD\) через \(x\) и \(y\). Так как их биссектрисы перпендикулярны, то \(x+y=90^\circ\).

Следовательно, \(\angle ABC+\angle CBD=2x+2y=180^\circ\).

Эти углы имеют общую сторону \(BC\), а их внешние стороны — лучи \(BA\) и \(BD\). Если сумма смежных углов равна \(180^\circ\), то внешние стороны являются противоположными лучами.

Значит, точки \(A\), \(B\) и \(D\) лежат на одной прямой.