9.120. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжёлый поршень (рис. 9.4). Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объёма над поршнем к объёму под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?

Пусть первоначальный объём под поршнем равен \(V\), а над ним — \(3V\). При одинаковых массах газа и температурах из уравнения состояния следует \(p_1V=p_2(3V)\), то есть \(p_1=3p_2\). Разность давлений, уравновешивающая вес поршня, постоянна: \(p_1-p_2=2p_2\).

После удвоения температуры произведение \(pV\) для каждой части удваивается. Обозначим новое отношение объёмов \(x=V'_2/V'_1\). Общий объём остаётся равным \(4V\), а постоянство разности давлений даёт:

\[\frac{6p_2V}{V'_1}-\frac{6p_2V}{V'_2}=2p_2,\qquad V'_1+V'_2=4V.\]

Подставляя \(V'_2=xV'_1\), получаем \(3x^2-4x-3=0\). Подходит положительный корень \(x=\frac{2+\sqrt{13}}{3}\).

Ответ: отношение объёма над поршнем к объёму под поршнем будет \(\frac{2+\sqrt{13}}{3}\approx1.87\).