№ 9. ABCD — равнобедренная трапеция, AB = CD = 7. Из B опущен перпендикуляр BH на AD; AH = 3. Диагональ BD делит угол D пополам. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора: BH² = AB² − AH² = 7² − 3² = 40, значит BH = 2√10.

Пусть HD = x. В прямоугольном треугольнике BHD угол H равен 90°. Поскольку BD — биссектриса угла D, ∠BDH = ∠CDB. Кроме того, AB ∥ CD, поэтому ∠ABD = ∠CDB (накрест лежащие углы). Следовательно, ∠ABD = ∠BDH, и треугольник BHD равнобедренный: BH = HD.

Значит, HD = 2√10. Тогда AD = AH + HD = 3 + 2√10.

Ответ: AD = 3 + 2√10.