9. Докажите, что значение выражения \(\frac{\sqrt{9-4\sqrt5}+\sqrt{14-6\sqrt5}}{\sqrt3-2\sqrt2}\) не является целым числом.

Представим подкоренные выражения как квадраты: \(9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2\), \(14-6\sqrt5=(3-\sqrt5)^2\). Поскольку \(\sqrt5>2\) и \(3>\sqrt5\), числитель равен \((\sqrt5-2)+(3-\sqrt5)=1\).

Если значение было бы целым числом \(k\), то \(\frac1{\sqrt3-2\sqrt2}=k\), откуда \(1=k\sqrt3-2k\sqrt2\). При \(k=0\) это невозможно. При ненулевом целом \(k\) правая часть иррациональна: иначе \(\sqrt3-2\sqrt2\) была бы рациональной, что невозможно. Значит, значение выражения не является целым.