9. Используйте свойства функций и решите неравенство log_{0,5} x ≥ x - 6.

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \log_{0,5} x \) и \( g(x) = x - 6 \).

Функция \( f(x) = \log_{0,5} x \) является убывающей, так как основание степени \( 0.5 < 1 \). Область определения: \( x > 0 \).

Функция \( g(x) = x - 6 \) — это прямая, возрастающая.

Найдем точки пересечения графиков этих функций. Попробуем подобрать целочисленные значения \( x > 0 \), которые являются степенями \( 0.5 \) или близки к ним:

• Если \( x = 1 \): \( \log_{0,5} 1 = 0 \), \( 1 - 6 = -5 \). \( 0 \geq -5 \) — верно.
• Если \( x = 2 \): \( \log_{0,5} 2 = -1 \), \( 2 - 6 = -4 \). \( -1 \geq -4 \) — верно.
• Если \( x = 4 \): \( \log_{0,5} 4 = -2 \), \( 4 - 6 = -2 \). \( -2 \geq -2 \) — верно.
• Если \( x = 8 \): \( \log_{0,5} 8 = -3 \), \( 8 - 6 = 2 \). \( -3 \geq 2 \) — неверно.

Графики пересекаются в точке \( x = 4 \).

Так как \( f(x) = \log_{0,5} x \) — убывающая, а \( g(x) = x - 6 \) — возрастающая, то при \( x < 4 \) \( f(x) > g(x) \) (в пределах области определения \( x>0 \)), а при \( x > 4 \) \( f(x) < g(x) \).

Неравенство \( \log_{0,5} x \geq x - 6 \) выполняется, когда график \( y = \log_{0,5} x \) находится выше или совпадает с графиком \( y = x - 6 \).

Это происходит для \( 0 < x \leq 4 \).

Ответ: \( 0 < x \leq 4 \).