9. На чертеже треугольник ADC равнобедренный: AD = DC. Точки E и F лежат соответственно на AD и DC; отмечено DE = DF и EA = FC. Прямые AF и CE пересекаются в B. Доказать: треугольник ABC равнобедренный.

Из AD = DC и DE = DF следует, что оставшиеся части равны: EA = FC (это также отмечено на чертеже). Рассмотрим треугольники ACF и CAE: AC — общая сторона, CF = AE, а ∠ACF = ∠CAE, поскольку это углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Следовательно, треугольники ACF и CAE равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда ∠CAF = ∠ACE. Поскольку B лежит на AF и CE, это означает, что ∠BAC = ∠ACB. Значит, противоположные этим углам стороны равны: AB = BC.

Ответ: треугольник ABC равнобедренный, AB = BC.