9. На доске написаны 5 простых чисел, каждое из которых больше 10. Докажите, что разность между какими-то двумя выписанными числами делится на 10.

Простое число больше 10 не оканчивается на 0, 2, 4, 5, 6 или 8: иначе оно делилось бы на 2 или на 5 и не было бы простым. Значит, последние цифры всех пяти чисел принадлежат множеству \(\{1,3,7,9\}\).

Для пяти чисел и четырёх возможных последних цифр по принципу Дирихле найдутся два числа с одинаковой последней цифрой. Их разность оканчивается на 0, поэтому делится на 10.

Доказано.