9. Найдите площадь треугольника. Он вписан в окружность; верхний угол равен \(60^\circ\), противолежащая ему сторона равна 10, а сторона между верхней и правой вершинами равна \(4\sqrt3\).

Обозначим верхний угол через \(A=60^\circ\), противоположную ему сторону — \(a=10\), а прилежащую сторону — \(b=4\sqrt3\). По теореме синусов \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{4\sqrt3\cdot\sqrt3/2}{10}=\frac35\).

По рисунку угол \(B\) острый, поэтому \(\cos B=\frac45\). Тогда \(\sin C=\sin(120^\circ-B)=\sin120^\circ\cos B-\cos120^\circ\sin B=\frac{4\sqrt3+3}{10}\).

Площадь \(S=\frac12ab\sin C=20\sqrt3\cdot\frac{4\sqrt3+3}{10}=24+6\sqrt3\).

Ответ: \(S=24+6\sqrt3\).