9. Найдите, при каком значении переменной а числа За + 1, а + 5 и а - 7 будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть \(b_1 = 3a + 1\), \(b_2 = a + 5\), \(b_3 = a - 7\).
2. По основному свойству геометрической прогрессии: \((a+5)^2 = (3a+1)(a-7)\).
3. Раскроем скобки и приравняем:
• \(a^2 + 10a + 25 = 3a^2 - 21a + a - 7\)
• \(a^2 + 10a + 25 = 3a^2 - 20a - 7\)
4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \(0 = 3a^2 - a^2 - 20a - 10a - 7 - 25\)
• \(0 = 2a^2 - 30a - 32\)
5. Разделим все на 2 для упрощения: \(a^2 - 15a - 16 = 0\).
6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289\).
7. \(√ D = √ 289 = 17\).
8. Найдем корни уравнения:
• \(a_1 = rac{15 + 17}{2} = rac{32}{2} = 16\)
• \(a_2 = rac{15 - 17}{2} = rac{-2}{2} = -1\)
9. Проверим оба значения 'a':
• Если a = 16:
• \(3a + 1 = 3(16) + 1 = 48 + 1 = 49\)
• \(a + 5 = 16 + 5 = 21\)
• \(a - 7 = 16 - 7 = 9\)
• Проверим, являются ли 49, 21, 9 членами геометрической прогрессии: \(21^2 = 441\), \(49 imes 9 = 441\). Это верно.
• Если a = -1:
• \(3a + 1 = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2\)
• \(a + 5 = -1 + 5 = 4\)
• \(a - 7 = -1 - 7 = -8\)
• Проверим, являются ли -2, 4, -8 членами геометрической прогрессии: \(4^2 = 16\), \(-2 imes -8 = 16\). Это верно.

Ответ: Значение переменной 'a' может быть 16 или -1. Если a = 16, числа: 49, 21, 9. Если a = -1, числа: -2, 4, -8.