9. Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

В прямоугольном треугольнике с углом 60° катеты относятся как \(1:\sqrt{3}\). Пусть катет, прилежащий к углу 60°, равен \(x\); тогда второй катет равен \(x\sqrt{3}\).

Площадь: \(\frac{x\cdot x\sqrt{3}}{2}=512\sqrt{3}\). Сокращаем на \(\sqrt{3}\): \(x^2/2=512\), откуда \(x^2=1024\) и \(x=32\), поскольку длина положительна.

Ответ: 32.