9. Сократите дробь \(\frac{16+2\sqrt{39}}{\sqrt{13}+\sqrt3}\).

Представим числитель как произведение: \(16+2\sqrt{39}=2\sqrt3(\sqrt{13}+\sqrt3)\), поскольку \(2\sqrt3\cdot\sqrt{13}=2\sqrt{39}\), а \(2\sqrt3\cdot\sqrt3=6\). Здесь это равенство не выполняется для свободного члена: исходный числитель равен \(16+2\sqrt{39}\), поэтому рационализируем знаменатель.

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{13}-\sqrt3\):

\(\frac{(16+2\sqrt{39})(\sqrt{13}-\sqrt3)}{13-3}=\frac{16\sqrt{13}-16\sqrt3+2\sqrt{507}-2\sqrt{117}}{10}\).

Так как \(\sqrt{507}=13\sqrt3\), а \(\sqrt{117}=3\sqrt{13}\), числитель равен \(10\sqrt{13}+10\sqrt3\). Следовательно, дробь равна \(\sqrt{13}+\sqrt3\).

Ответ: \(\sqrt{13}+\sqrt3\).