9 В графе 24 ребра. Каждая вершина графа имеет или степень 2, или степень 7. Причём вершин степени 2 на 6 больше, чем вершин степени 7. Сколько вершин в этом графе?

Решение:

Пусть $$n_2$$ — количество вершин степени 2, и $$n_7$$ — количество вершин степени 7.

Общее количество вершин в графе равно $$N = n_2 + n_7$$.

Из условия задачи известно, что вершин степени 2 на 6 больше, чем вершин степени 7:

• $$n_2 = n_7 + 6$$

Также по теореме о сумме степеней вершин графа, удвоенное количество ребер равно сумме степеней всех вершин:

• $$2E = \text{сумма степеней всех вершин}$$

Где E — количество ребер. В данном случае E = 24.

• $$2 \times 24 = n_2 \times 2 + n_7 \times 7$$
• $$48 = 2n_2 + 7n_7$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $$n_2 = n_7 + 6$$
2. $$48 = 2n_2 + 7n_7$$

Подставим первое уравнение во второе:

• $$48 = 2(n_7 + 6) + 7n_7$$
• $$48 = 2n_7 + 12 + 7n_7$$
• $$48 = 9n_7 + 12$$
• $$48 - 12 = 9n_7$$
• $$36 = 9n_7$$
• $$n_7 = \frac{36}{9} = 4$$

Теперь найдем $$n_2$$:

• $$n_2 = n_7 + 6 = 4 + 6 = 10$$

Общее количество вершин в графе равно:

• $$N = n_2 + n_7 = 10 + 4 = 14$$

Финальный ответ:

Ответ: 14