9. В круг радиуса 8 см вписан квадрат. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадёт в данный квадрат.

Привет! Давай решим эту геометрическую задачу.

Вероятность того, что точка, поставленная наудачу в круг, попадет в квадрат, равна отношению площади квадрата к площади круга.

1. Площадь круга:

Формула площади круга: $$S_{круг} = π R^2$$.

Радиус $$R = 8$$ см.

\[ S_{круг} = π \times (8 \text{ см})^2 = 64π \text{ см}^2 \]

2. Площадь квадрата:

Когда квадрат вписан в круг, диагональ квадрата равна диаметру круга. Диаметр круга $$D = 2R = 2 \times 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$$.

Диагональ квадрата $$d = 16$$ см.

Есть два способа найти площадь квадрата:

Способ А: Через диагональ.

Формула площади квадрата через диагональ: $$S_{квадрат} = \frac{d^2}{2}$$.

\[ S_{квадрат} = \frac{(16 \text{ см})^2}{2} = \frac{256 \text{ см}^2}{2} = 128 \text{ см}^2 \]

Способ Б: Через сторону квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и его диагональю: $$a^2 + a^2 = d^2$$.

\[ 2a^2 = (16 \text{ см})^2 \]\[ 2a^2 = 256 \text{ см}^2 \]\[ a^2 = 128 \text{ см}^2 \]

Площадь квадрата $$S_{квадрат} = a^2 = 128 \text{ см}^2$$.

3. Вероятность:

\[ P(\text{точка в квадрате}) = \frac{S_{квадрат}}{S_{круг}} = \frac{128 \text{ см}^2}{64π \text{ см}^2} \]

Сократим дробь:

\[ P = \frac{128}{64π} = \frac{2}{π} \]

Ответ: 2/π