9. В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены равные отрезки BO и DN. Докажите, что четырёхугольник ONEF также является параллелограммом.

Пусть \(BO=DN\). Так как \(BF=DE\), после вычитания равных частей получаем \(OF=NE\).

Кроме того, \(OF\) лежит на стороне \(BF\), а \(NE\) — на стороне \(DE\). В параллелограмме \(BF\parallel DE\), следовательно, \(OF\parallel NE\).

Рассмотрим другие стороны. Отрезок \(ON\) соединяет точки, отстоящие от вершин \(B\) и \(D\) на равные доли параллельных сторон, поэтому \(ON\parallel BD\). В параллелограмме \(BD\parallel FE\), значит, \(ON\parallel FE\).

У четырёхугольника ONEF противоположные стороны попарно параллельны: \(ON\parallel FE\) и \(OF\parallel NE\). Следовательно, ONEF — параллелограмм.