№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD), AB = 7, AH = 3, BH ⟂ AD; BD — биссектриса угла CDA. Найти AD.

Поскольку \(AD \parallel BC\), углы \(\angle ADB\) и \(\angle DBC\) равны как накрест лежащие.

BD — биссектриса угла CDA, поэтому \(\angle ADB = \angle BDC\). Следовательно, \(\angle DBC = \angle BDC\), и треугольник BCD равнобедренный: \(BC = CD = 7\).

В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Значит, расстояние от проекции C на AD до D также равно \(AH = 3\).

Тогда \(AD = AH + BC + 3 = 3 + 7 + 3 = 13\).

Ответ: \(AD = 13\).