9. В треугольнике АВС ВМ - медиана и ВН - высота. Известно, что АС=76 и ВС=ВМ. Найдите АН.

Решение:

В треугольнике ABC, BM — медиана, значит, M — середина стороны AC. Следовательно, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{76}{2} = 38 \) см.

По условию \( BC = BM \). Это означает, что треугольник BCM — равнобедренный.

BH — высота, значит, \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике BCM, BH является высотой, проведенной к основанию MC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, H — середина MC.

\( MH = HC = \frac{MC}{2} = \frac{38}{2} = 19 \) см.

Нам нужно найти AH. AH = AM + MH.

\( AH = 38 + 19 = 57 \) см.

Ответ: 57 см.