91. Найдите площадь и периметр прямоугольника, если при помощи квадратов сложили: а) из двух квадратов с периметрами 8 см; б) из трёх квадратов с периметрами 8 см; в) из четырёх квадратов с периметрами 8 см; г) из n (n — натуральное число, большее 1) квадратов с периметрами 8 см.

Периметр каждого квадрата равен 8 см, значит, его сторона \(8:4=2\) см, а площадь — \(2\cdot2=4\) см². При укладывании одинаковых квадратов в прямоугольник число квадратов по сторонам прямоугольника должно быть целочисленными множителями их общего количества.

а) Два квадрата образуют прямоугольник 1 на 2 квадрата: стороны 2 см и 4 см. Площадь \(S=8\) см², периметр \(P=12\) см.

б) Три квадрата образуют прямоугольник 1 на 3 квадрата: стороны 2 см и 6 см. Площадь \(S=12\) см², периметр \(P=16\) см.

в) Для четырёх квадратов возможны прямоугольники 1 на 4 и 2 на 2 квадрата. В первом случае стороны 2 см и 8 см, поэтому \(S=16\) см² и \(P=20\) см. Во втором получается квадрат со стороной 4 см: \(S=16\) см², \(P=16\) см.

г) Пусть прямоугольник составлен из r квадратов вдоль одной стороны и s вдоль другой, где \(rs=n\). Его стороны равны \(2r\) см и \(2s\) см, поэтому \(S=4n\) см², \(P=4(r+s)\) см. Возможные значения периметра зависят от пары натуральных множителей r и s числа n.

Ответ: а) 8 см² и 12 см; б) 12 см² и 16 см; в) 16 см² и 20 см либо 16 см² и 16 см; г) площадь \(4n\) см², периметр \(4(r+s)\) см при \(rs=n\).