7A. \(\sqrt{x^2 + 3x} \leq 2\)

Для решения неравенства \(\sqrt{x^2 + 3x} \leq 2\) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения: \(x^2 + 3x \geq 0\).
2. Возвести обе части неравенства в квадрат.
3. Решить полученное неравенство.
4. Учесть область определения.

1. Область определения: \(x^2 + 3x \geq 0\). Разложим на множители: \(x(x + 3) \geq 0\). Решаем методом интервалов: \(x \leq -3\) или \(x \geq 0\).

2. Возводим обе части неравенства в квадрат:

$$\begin{aligned} (\sqrt{x^2 + 3x})^2 &\leq 2^2 \\ x^2 + 3x &\leq 4 \\ x^2 + 3x - 4 &\leq 0 \end{aligned}$$

3. Решаем квадратное неравенство \(x^2 + 3x - 4 \leq 0\). Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\) через дискриминант:

\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\)

\(x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4\)

\(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1\)

Решением неравенства \(x^2 + 3x - 4 \leq 0\) является интервал \([-4, 1]\).

4. Учитываем область определения: \(x \leq -3\) или \(x \geq 0\).

Пересечение интервала \([-4, 1]\) с областью определения дает: \([-4, -3]\) \(\cup\) \([0, 1]\).

Ответ: \(x \in [-4, -3] \cup [0, 1]\)