71. a) ∫ sin(2x) ⋅ sin(5x) dx

Для решения этого интеграла воспользуемся формулой произведения синусов:
$$\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$$

1. Применяем формулу произведения синусов:
   $$\int \sin(2x) \sin(5x) dx = \int \frac{1}{2} [\cos(2x - 5x) - \cos(2x + 5x)] dx = \frac{1}{2} \int [\cos(-3x) - \cos(7x)] dx$$
2. Используем четность косинуса: $$\cos(-x) = \cos(x)$$
   $$\frac{1}{2} \int [\cos(3x) - \cos(7x)] dx = \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx - \frac{1}{2} \int \cos(7x) dx$$
3. Интегрируем каждый косинус:
   $$\frac{1}{2} \int \cos(3x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) + C_1 = \frac{1}{6} \sin(3x) + C_1$$
   $$\frac{1}{2} \int \cos(7x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} \sin(7x) + C_2 = \frac{1}{14} \sin(7x) + C_2$$
4. Объединяем результаты:
   $$\frac{1}{6} \sin(3x) - \frac{1}{14} \sin(7x) + C$$

Ответ: $$\frac{1}{6} \sin(3x) - \frac{1}{14} \sin(7x) + C$$