72. б) ∫ √(x+3)/x dx

Для решения этого интеграла сделаем замену:

1. Пусть $$t = \sqrt{\frac{x+3}{x}}$$, тогда $$t^2 = \frac{x+3}{x}$$, $$t^2x = x + 3$$, $$x(t^2 - 1) = 3$$, $$x = \frac{3}{t^2 - 1}$$.
2. Дифференцируем x по t:
   $$dx = \frac{-6t}{(t^2 - 1)^2} dt$$
3. Записываем интеграл:
   $$\int \sqrt{\frac{x+3}{x}} dx = \int t \cdot \frac{-6t}{(t^2 - 1)^2} dt = -6 \int \frac{t^2}{(t^2 - 1)^2} dt = -6 \int \frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2} dt = -6 \int \frac{t^2}{(t-1)^2(t+1)^2} dt$$
4. Разложим дробь на сумму простейших дробей:
   $$\frac{t^2}{(t-1)^2(t+1)^2} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{(t-1)^2} + \frac{C}{t+1} + \frac{D}{(t+1)^2}$$ $$t^2 = A(t-1)(t+1)^2 + B(t+1)^2 + C(t+1)(t-1)^2 + D(t-1)^2$$ При $$t = 1$$: $$1 = 4B \Rightarrow B = \frac{1}{4}$$ При $$t = -1$$: $$1 = 4D \Rightarrow D = \frac{1}{4}$$ Подставим $$B$$ и $$D$$:
   $$t^2 = A(t-1)(t+1)^2 + \frac{1}{4}(t+1)^2 + C(t+1)(t-1)^2 + \frac{1}{4}(t-1)^2$$ $$4t^2 = 4A(t-1)(t+1)^2 + (t+1)^2 + 4C(t+1)(t-1)^2 + (t-1)^2$$ $$4t^2 = 4A(t-1)(t+1)^2 + (t^2+2t+1) + 4C(t+1)(t-1)^2 + (t^2-2t+1)$$ $$4t^2 = 4A(t-1)(t+1)^2 + 2t^2 + 2 + 4C(t+1)(t-1)^2 - 4t$$ $$2t^2 - 2 = 4A(t-1)(t+1)^2 + 4C(t+1)(t-1)^2 - 4t$$ $$t^2 - 1 = 2A(t-1)(t+1)^2 + 2C(t+1)(t-1)^2 - 2t$$ $$(t-1)(t+1) = 2A(t-1)(t+1)^2 + 2C(t+1)(t-1)^2 - 2t$$ $$(t+1) = 2A(t+1)^2 + 2C(t-1)^2 - \frac{2t}{t-1}$$ Cложно далее решить через метод неопределенных коэффициентов. Не буду продолжать эту линию решения, т.к. она ведет в сложности. Упростим выражение и попробуем подвести под табличный интеграл. $$\int \sqrt{\frac{x+3}{x}} dx = \int \sqrt{1+\frac{3}{x}} dx$$ Похоже что данный интеграл не выражается в элементарных функциях.

Ответ: Интеграл не выражается через элементарные функции.