71. б) ∫ dx/(x²+3x+1)

Для решения данного интеграла, сначала выделим полный квадрат в знаменателе:

1. Выделение полного квадрата:
   $$x^2 + 3x + 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$$
2. Запишем интеграл:
   $$\int \frac{dx}{x^2 + 3x + 1} = \int \frac{dx}{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}} = \int \frac{dx}{(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2}$$
3. Используем интеграл табличный вида $$\int \frac{dx}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{u-a}{u+a}| + C$$:
   $$\int \frac{dx}{(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} \ln |\frac{x + \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}{x + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}| + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln |\frac{x + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}}{x + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}}| + C$$

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{5}} \ln |\frac{x + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}}{x + \frac{3 + \sqrt{5}}{2}}| + C$$