8. а) Найдите наименьшее значение функции у = 4x-ln(4x) + 12 на отрезке [\frac{1}{8};2].

Решение:

1. Находим производную функции: \[ y' = 4 - \frac{1}{4x} \cdot 4 = 4 - \frac{1}{x} \]
2. Приравниваем производную к нулю и находим критическую точку: \[ 4 - \frac{1}{x} = 0 \] \[ \frac{1}{x} = 4 \] \[ x = \frac{1}{4} \]
3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка отрезку [1/8; 2]. Да, \( \frac{1}{8} \le \frac{1}{4} \le 2 \).
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • \( y(\frac{1}{8}) = 4 \cdot \frac{1}{8} - \ln(4 \cdot \frac{1}{8}) + 12 = \frac{1}{2} - \ln(\frac{1}{2}) + 12 = 0.5 + \ln 2 + 12 \approx 13.193 \)
   • \( y(2) = 4 \cdot 2 - \ln(4 \cdot 2) + 12 = 8 - \ln 8 + 12 = 20 - \ln 8 \approx 17.92 \)
   • \( y(\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} - \ln(4 \cdot \frac{1}{4}) + 12 = 1 - \ln(1) + 12 = 1 - 0 + 12 = 13 \)

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [\(\frac{1}{8}\); 2] равно 13.