10. Найдите наименьшее значение функции у= 2x³-3x²-36x + 10 на отрезке (-3;4].

Решение:

1. Находим производную функции: \[ y' = 6x^2 - 6x - 36 \]
2. Приравниваем производную к нулю: \[ 6x^2 - 6x - 36 = 0 \] \[ x^2 - x - 6 = 0 \]
3. Решаем квадратное уравнение: \[ (x - 3)(x + 2) = 0 \] \[ x = 3, x = -2 \]
4. Обе точки x = 3 и x = -2 принадлежат отрезку (-3; 4].
5. Вычисляем значения функции в критических точках:
   • \( y(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 10 = 2(27) - 3(9) - 108 + 10 = 54 - 27 - 108 + 10 = -71 \)
   • \( y(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 10 = 2(-8) - 3(4) + 72 + 10 = -16 - 12 + 72 + 10 = 54 \)
6. Вычисляем значение функции на правом конце отрезка:
   • \( y(4) = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 36(4) + 10 = 2(64) - 3(16) - 144 + 10 = 128 - 48 - 144 + 10 = -54 \)
7. Так как отрезок (-3; 4] является полуинтервалом, значения функции в точке -3 не существует, но можно вычислить предел функции при x стремящемся к -3:
   • \( \lim_{x \to -3^+} (2x^3 - 3x^2 - 36x + 10) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 10 = -54 - 27 + 108 + 10 = 37 \)

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке (-3; 4] равно -71.