б) Найдите наименьшее значение функции у = (10 - x)cosx - sinx + 12 на отрезке [0;\frac{π}{2}].

Решение:

1. Находим производную функции: \[ y' = -\cos x - (10 - x)\sin x - \cos x = -2\cos x - (10 - x)\sin x \]
2. Приравниваем производную к нулю: \[ -2\cos x - (10 - x)\sin x = 0 \] \[ 2\cos x + (10 - x)\sin x = 0 \]
3. Проанализируем производную на отрезке [0; π/2]:
   • При x = 0: \[ y'(0) = -2\cos 0 - (10 - 0)\sin 0 = -2 \]
   • При x = π/2: \[ y'(\frac{\pi}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) - (10 - \frac{\pi}{2})\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 - (10 - \frac{\pi}{2}) \cdot 1 = -10 + \frac{\pi}{2} \approx -10 + 1.57 = -8.43 \]
4. Заметим, что при x = π/2: \(y'(\frac{\pi}{2}) < 0\).
5. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
   • \( y(0) = (10 - 0)\cos 0 - \sin 0 + 12 = 10 \cdot 1 - 0 + 12 = 22 \)
   • \( y(\frac{\pi}{2}) = (10 - \frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) + 12 = (10 - \frac{\pi}{2}) \cdot 0 - 1 + 12 = 11 \)

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [0; π/2] равно 11.