б) Найдите наибольшее значение функции у = (x - 3)² (2x - 3) + 5 на отрезке [-1;4].

Решение:

1. Находим производную функции: \[ y = (x - 3)^2 (2x - 3) + 5 \] \[ y' = 2(x - 3)(2x - 3) + (x - 3)^2 \cdot 2 \] \[ y' = 2(x - 3)(2x - 3 + x - 3) \] \[ y' = 2(x - 3)(3x - 6) \] \[ y' = 6(x - 3)(x - 2) \]
2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки: \[ 6(x - 3)(x - 2) = 0 \] \[ x = 3, x = 2 \]
3. Обе точки x = 2 и x = 3 принадлежат отрезку [-1; 4].
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • \( y(-1) = (-1 - 3)^2 (2(-1) - 3) + 5 = 16(-5) + 5 = -80 + 5 = -75 \)
   • \( y(4) = (4 - 3)^2 (2(4) - 3) + 5 = 1(8 - 3) + 5 = 5 + 5 = 10 \)
   • \( y(2) = (2 - 3)^2 (2(2) - 3) + 5 = 1(4 - 3) + 5 = 1 + 5 = 6 \)
   • \( y(3) = (3 - 3)^2 (2(3) - 3) + 5 = 0 + 5 = 5 \)

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 4] равно 10.