13. а) Решите уравнение 3 / sin²(5x) - 1 / sin(5x) = 2.

Решение: 1. Сделаем замену $$t = \frac{1}{\sin(5x)}$$. Тогда уравнение примет вид: $$3t^2 - t = 2$$ 2. Перенесем все члены в левую часть: $$3t^2 - t - 2 = 0$$ 3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25$$ 4. Найдем корни уравнения: $$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 * 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 * 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ 5. Вернемся к замене: $$\frac{1}{\sin(5x)} = 1 \Rightarrow \sin(5x) = 1$$ $$\frac{1}{\sin(5x)} = -\frac{2}{3} \Rightarrow \sin(5x) = -\frac{3}{2}$$. Это невозможно, так как $$|\sin(x)| \le 1$$. 6. Решим уравнение $$\sin(5x) = 1$$: $$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$$